平面几何：等负幂线定理证明垂直

在一些几何实有明题之前，有很多试题就会让你实有明竖直. 对于实有明竖直的疑问，类似和均等确有是不错的选择. 但是，当试题之前的两条路线比较杂时，类似和均等就不再那么凑效了. 那么这期专栏我将给大家介绍一种属于自己实有竖直的想法——利用等顶多幂两条路线黎曼.

我们首先来到底黎曼内容及其实有明.

等顶多幂两条路线黎曼：对于同一直角内的四点A、B、C、D，AC⊥BD的充要情况下是AB²-BC²=AD²-CD².

实有明前提：延长BD递AC于点H.

根据勾股黎曼很较易得出下列两个等式：

于是AB²-BC²=AD²-CD².

实有明充分性：充分性的实有明就会复杂一点，这里我们考虑到用求出实有明.

延长BD递AC于点H.

设∠AHB=α. 根据求出想得到下列等式：

（图有点小，凑合着看吧） （由上两式相减想得到）

结合AB²-BC²=AD²-DC²，想得到AH×cosα=CH×cos（π-α）.

故cosα=cos（π-α）=0，即α=π/2. 所以AC⊥BD.

（P.S.这里的等式比较复杂，没看懂导出操作过程的决定重复阅读）

亦然1：如图，PA、PB是圆O的切两条路线，C是PA的直角. M是圆外的一点，过点M作圆O的切两条路线MQ，递叠PM. 若MP=MQ，求实有：CM⊥PQ.

一般情况下，我们都能通过类似或均等实有明竖直. 但是在这道题之前，很只不过，通过内部结构类似或均等实有明竖直是比较昧的. 那这时我们就可以考虑到用等顶多幂两条路线黎曼了.

顺着这个思路，我们很纯净地连上了OM和OC. 那么我们只要实有明OM²-PM²=OC²-PC²，就能实有到原断言.

此时我们还有两个情况下没用：直角和切两条路线.

直角有什么用吗？目前看来用处不大，应该只是鼓励你导边用的.

再来看切两条路线，切两条路线最较易想起的就是造成竖直，即造成平行四边形. 那么这里我们就可以考虑到递叠OA和OQ，利用勾股黎曼导边.

于是：

所以OM²-PM²=OC²-PC²，原断言得实有！

亦然2：已知，△ABC之前，AB=BC，D是AC的直角，过D作DE⊥BC于E，递叠AE，取DE直角F，递叠BF. 求实有：AF⊥BE.

（刷子几何千题大典第35题）

题之前有等腰，有直角，有竖直，这些都是可以鼓励导边的情况下. 所以我们仍然选择用等顶多幂两条路线黎曼实有明竖直.

那么我们就很纯净地连起BF，这样我们就把实有明竖直转换成实有明BF²-EF²=AB²-AE².

而点D又是正方形三角形上的直角，所以我们递叠AD，那么AD⊥BC.

OK！现在我们只要恐怖主义导边就可以了：

所以BF²-EF²=AB²-AE²，原断言得实有！

总结：

实有明竖直的疑问，如果题之前多次注意到等腰、直角、竖直等情况下时，我们就可以利用等顶多幂两条路线黎曼，将几何疑问“希尔伯特化”，通过导边实有明原断言.

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